คณิตศาสตร์ ม.ปลาย: ฟังก์ชัน ตรีโกณ และแคลคูลัส

1.1 ฟังก์ชันคืออะไร

ฟังก์ชันคือกฎที่จับคู่ x แต่ละตัวกับ y เพียงตัวเดียว โดเมนคือค่า x ที่ใส่ได้ เรนจ์คือค่า y ที่ออกมาได้ กราฟพาราโบลา y = ax² + bx + c เปิดขึ้นถ้า a > 0 เปิดลงถ้า a < 0 จุดยอดคือจุดต่ำสุด/สูงสุด

ตัวอย่าง: y = x² − 4x + 3 จุดยอดที่ x = −b/2a = 2, y = −1 เปิดขึ้นเพราะ a = 1 > 0

1.2 ตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก

sin = ข้าม/ฉาก cos = ชิด/ฉาก tan = ข้าม/ชิด จำค่ามุมพิเศษ: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 (cos สลับกัน)

📐 sin²θ + cos²θ = 1

⚠️ ระวัง: อย่าสับสนข้ามกับชิด: ข้ามคือด้านตรงข้ามมุมที่สนใจ ไม่ใช่ด้านยาวสุด

2.1 ลิมิตคือการเข้าใกล้

ลิมิตถามว่า f(x) เข้าใกล้ค่าใดเมื่อ x เข้าใกล้จุดหนึ่ง ใช้ได้แม้ฟังก์ชันไม่นิยามที่จุดนั้น อนุพันธ์คือนิยามด้วยลิมิตของอัตราการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง: lim(x→2) (x²−4)/(x−2) แทนค่าตรงๆ ได้ 0/0 แต่แยกตัวประกอบได้ (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 → ตอบ 4

2.2 กฎหาอนุพันธ์และการประยุกต์

d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹ อนุพันธ์เป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ ใช้หาค่าสูงสุดของกำไรหรือพื้นที่ได้

📐 f(x) = x³ − 3x → f′(x) = 3x² − 3 = 0 ได้ x = ±1